Clase 7.

Clase 7.

Martes, 17 de Mayo del 2016

Operaciones con funciones vectoriales. Con las funciones vectoriales que fueron vistas en la clase 6, se puede hacer operaciones, las cuales serán explicadas a continuación.

En las funciones vectoriales también se puede calcular limites, continuidad y sus respectivas derivadas. Todo según lo conocido en funciones de 1 variable. Lo único que se debe realizar es el proceso típico para cada uno de sus componentes. Teniendo en cuenta lo siguiente:

• Existe el limite de una función vectorial si y solo si existe el limite en cada una d sus componentes.
• El resultado de la aplicación del limite será un vector.
• Una función vectorial es continua en un intervalo [a,b] si y solo si cada una de sus componentes es continua en el mismo intervalo.

Clase 6.

Clase 6.

Jueves, 12 de mayo del 2016

Funciones vectoriales de variable real: Se llama función vectorial de la variable real ¨t¨, a toda correspondencia de:

Es importante recalcar que las gráficas de estas funciones cuando están en R2 se conocen como curva plana, mientras que cuando están en R3 se conoce como curva alabeada. 

Curva Plana.

Curva Alabeada.

Al ser funciones, podemos analizar el dominio y el rango de la función.

El dominio de una función vectorial será igual a la intersección de los dominios de cada una de sus componentes.

El rango de una función vectorial será igual a la unión de los rangos de cada una de sus componentes.

Para más información del tema se puede consultar el siguiente enlace: funciones vectoriales

Clase 5.

Clase 5.

Jueves, 5 de Mayo del 2016

Cilindros y superficies cuadráticas: Las superficies cuadráticas están formadas por la unión de puntos en el espacio, su ecuación general es la de una ecuación de 2do grado con 3 variables, de la siguiente forma: Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J =0. Cabe destacar que si se traslada o se rota los ejes, se puede llegar a una ecuación más fácil de manejar, de la forma Ax2+By2+Cz2+J =0.

Entre las superficies cuadráticas más comunes tenemos:

• Cilindro circular recto: Su ecuación general es x2+y2= r2
• Se destaca que la variable z no participa, lo que significa que su generatriz será paralela al eje z. 
• Si se presta atención, la ecuación es la de un círculo (cuando se mira en dos dimensiones).
• Gráficamente: 
  
• Paraboliode: Su ecuación general es:

• Gráficamente:
   
  

• Cono circular: Su ecuación general es: 
  
• Gráficamente: 
  

• Hiperboloide de una hoja: Su ecuación general es: 

• Gráficamente:
  

• Paraboliode Hiperbólico: Su ecuación general es: 
  
• Se conoce como la silla de montar, por su similitud al graficarla.
• Gráficamente: 
  

Luego de conocer las superficies cuadráticas más conocidas, es necesario comprender la forma de graficarlas. Para ellos seguiremos 4 simples pasos.

1. Encontrar la intersección de la superficie con los ejes coordenados.
2. Encontrar la intersección de la superficie con los planos coordenados.
3. Encontrar la intersección de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados (trazas).
4. Bosquejar la gráfica.

Cabe recalcar que:

1. La intersección con los ejes coordenados serán: eje X: y=0, z=0 ; eje Y: x=0, z=0 ; eje Z: x=0, y=0. Sus resultados serán puntos.
2. La intersección con los planos coordenados serán: Plano XoY: z=0 ; Plano XoZ: y=0 ; Plano YoZ: x=0. Sus resultados serán curvas.
3. La intersección con los planos paralelos a los planos coordenados serán: Plano XoY: z=cte ; Plano XoZ: y=cte ; Plano YoZ: x=cte. Sus resultados serán familias de curvas.

Para comprender mejor el tema se puede consultar el siguiente video: 

Clase 4.

Clase 4.

Martes, 3 de Mayo del 2016

Recta determinada por 2 planos: Si recordamos la clase 1, veremos que la intersección de dos superficies nos da una curva, en el caso de que estas superficies sean planos, su intersección será una recta. Para comprender más fácil este concepto se recomienda revisar el siguiente video: Video recta 2 planos.

Haz de planos: Para una recta cualquiera en R3, se conoce que puede estar formada por la intersección de una infinidad de planos, a este concepto se lo denomina haz de planos, y es el conjuntos de planos que al ser intersecados pueden formar una recta.

La ecuación del haz de planos y como encontrarla se encuentra en el siguiente enlace: haz de planos.

Clase 3.

Clase 3.

Jueves 28 de Abril del 2016.

Normalización de la ecuación general del plano: En la clase 2, se estudió las diferentes ecuaciones que un plano puede tener, ahora a la ecuación general buscaremos convertirla en una ecuación normal. 

Distancia de un punto al plano: Dado un plano cualquiera cuya ecuación es ax + by + cz + k = 0 y un punto cualquiera P0 = (x0, y0, z0) que no pertenece al plano, tal como lo muestra la Figura 1; se requiere hallar la distancia d del punto P0 al plano. Para encontrar la distancia, suponga un punto cualquiera P1 = (x1,y1,z1) elemento del plano, la distancia d será la norma del vector P0 P1 proyectado sobre el vector normal al plano N = [a, b, c].

Primero encontramos el vector P0P1.

Primero encontramos el vector P0P1 

Seguimos con el vector proyección P0P1 sobre el vector normal N.

En la ecuación anterior podemos sumar y restar k sin alterarla.

En la ecuación anterior tenemos que ax1 + by1 + cz1 + k = 0, ya que el punto P1 = (x1, y1, z1) pertenece al plano. Por lo tanto podemos escribir lo anterior como 

Ahora para encontrar la distancia d, basta con encontrar la norma del vector P0P1N. 

Para más información del tema se puede consultar en el siguiente enlace: Distancia punto-plano

NOTA: Agradecimiento especial a Paúl Aguilar, por la demostración de la distancia de un punto a un plano tomado del archivo publicado en sus clases de verano de la EPN. Creado el 11 de octubre del 2015.