Clase 3.

Clase 3.

Jueves 28 de Abril del 2016.

Normalización de la ecuación general del plano: En la clase 2, se estudió las diferentes ecuaciones que un plano puede tener, ahora a la ecuación general buscaremos convertirla en una ecuación normal. 

Distancia de un punto al plano: Dado un plano cualquiera cuya ecuación es ax + by + cz + k = 0 y un punto cualquiera P0 = (x0, y0, z0) que no pertenece al plano, tal como lo muestra la Figura 1; se requiere hallar la distancia d del punto P0 al plano. Para encontrar la distancia, suponga un punto cualquiera P1 = (x1,y1,z1) elemento del plano, la distancia d será la norma del vector P0 P1 proyectado sobre el vector normal al plano N = [a, b, c].

Primero encontramos el vector P0P1.

Primero encontramos el vector P0P1 

Seguimos con el vector proyección P0P1 sobre el vector normal N.

En la ecuación anterior podemos sumar y restar k sin alterarla.

En la ecuación anterior tenemos que ax1 + by1 + cz1 + k = 0, ya que el punto P1 = (x1, y1, z1) pertenece al plano. Por lo tanto podemos escribir lo anterior como 

Ahora para encontrar la distancia d, basta con encontrar la norma del vector P0P1N. 

Para más información del tema se puede consultar en el siguiente enlace: Distancia punto-plano

NOTA: Agradecimiento especial a Paúl Aguilar, por la demostración de la distancia de un punto a un plano tomado del archivo publicado en sus clases de verano de la EPN. Creado el 11 de octubre del 2015.