Teorema de Green: Este teorema recibe su nombre en honor al inglés Geoge Green (1793-1841). Este teorema establece que el valor de una integral doble sobre una región simplemente conexa R está determinado por el valor de una integral de línea a lo largo de la frontera de R.
Conservación de la energía: En 1840, el físico inglés Michael Faraday escribió: “En ninguna parte hay una creación o producción pura de energía sin un consumo correspondiente de algo que la proporcione.” Esta declaración representa la primera formulación de una de las leyes más importantes de la física: la ley de conservación de la energía. En la terminología moderna, la ley dice lo siguiente: En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinética de un objeto se mantiene constante de punto a punto. Se puede usar el teorema fundamental de las integrales de línea para deducir esta ley. Y aplicando esta ley se tiene lo siguiente:
Teorema Fundamental de integrales de línea: El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.
*El teorema fundamental de las integrales de línea es similar al teorema fundamental de cálculo:
La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente (Nabla)f como el resultado del operador diferencial (nabla) que actúa sobre la función f. En este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica para recordar la fórmula para el rotacional.
Cabe recalcar que en el caso que si el rotacional de un campo vectorial es igual a 0 rotF(x,y,z) = 0, entonces se dice que el campo vectorial es conservativo.
Divergencia: Se ha visto que el rotacional de un campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otra función importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una función escalar. La divergencia puede verse como un tipo de derivadas de F, ya que, para campos de velocidades de partículas, mide el ritmo de flujo de partículas por unidad de volumen en un punto.
Integral de línea:
Para comprender mejor las integrales de línea se puede ver el siguiente video:
Los campos vectoriales son útiles para estudiar y representar varios campos de fuerza o campos de velocidades como el campo magnético o el campo gravitacional, entre otros. También se puede estudiar los flujos de un fluido en un recipiente mediante los campos vectoriales.
Graficación de campos vectoriales: Para graficar los campos vectoriales, se podrían trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo, es más ilustrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvas de nivel en los campos escalares.
Centro de masa: Considérese una región sólida Q cuya densidad está dada por la función de densidad p. El centro de masa de una región sólida Q de masa m está dado por (x, y, z) , donde
Para el cálculo del momento de inercia se tiene lo siguiente:
Integral doble y volumen: Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una región sólida que se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z= f(x,y).
Con el siguiente video se puede comprender mejor este tema.
Integrales triples: El procedimiento utilizado para definir una integral triple es análogo al utilizarlo para integrales dobles. Considerar una función f en tres variables que es continua sobre una región sólida acotada Q. Entonces, se encierra Q en una red de cubos y se forma una partición interna que consta de todos los cubos que quedan completamente dentro de Q.
Para calcular el volumen utilizando integrales triples se utiliza lo siguiente:
