Clase 13

Clase 13.

Martes, 07 de Junio del 2016

Derivadas parciales: Al tener funciones de varias variables, se puede analizar como se comporta la función al variar una variable y mantener las otras constantes, de esta premisa nace el concepto de derivada parcial de la función con respecto a la variable escogida.Para una función de dos variables:

Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x De manera similar, para calcular fy se considera x constante y se deriva con respecto a y.

Esta definición puede ser extrapolada a funciones de cualquier número de variables.

Interpretación geométrica de las derivadas parciales: una derivada parcial en un punto, es la pendiente de la recta tangente a la superficie, que sigue la dirección de la variable que se mantiene constante, como se muestra en el gráfico siguiente:

Interpretación física de las derivadas parciales: Las derivadas parciales, físicamente representan razones de cambio las funciones de varias variables, esto puede ser visto en diferentes aplicaciones.

Teoría tomada del libro Cálculo 2. De varias variables de Larson. Novena edición.

Clase 12.

Clase 12.

Jueves, 02 de Junio del 2016.

Límites y continuidad: Cuando se hablada del límite y continuidad en funciones de una variable, se definía un intervalo en la recta de los reales. En cambio para las funciones de dos variables, se utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos, en este caso (x,y) y (x0,y0) en el plano para definir un entorno con radio mayor a 0 y centrado en (x0,y0). Por lo tanto se tiene un disco abierto con la siguiente ecuación:

Para entenderlo mejor se puede consultar el siguiente gráfico:

Por lo tanto, si nuestra función de 2 variables no está definida en el punto (x0,y0), pero al acercarnos mediante el disco abierto definido anteriormente, toma un valor definido, se puede decir que existe el límite. 

La gran diferencia entre el límite de funciones de 1 variable y las de 2, es que en una función de 1 variable, para comprobar que existe el límite es solo necesario demostrar que el limite es igual por la derecha que por la izquierda, mientras que en las funciones de 2 variables, se puede aproximar por cualquier trayectoria. Por tanto, es necesario observar el siguiente video para comprender como conocer si existe el límite de una fncioón de 2 variables.

Continuidad de una función de 2 variables: Al igual que en las funciones de 1 variable, las funciones de 2 variables son continuas en un punto (x,y) si su límite es igual a la función evaluada en (x,y). Es decir:

En el caso de funciones compuestas se tiene lo siguiente:

Lo visto anteriormente, se puede extrapolar a funciones de 3, 4 o n variables reales.

Teoría tomada del libro Cálculo 2. De varias variables de Larson. Novena edición.

Clase 11.

Clase 11.

Martes, 31 de Mayo del 2016

Gráficas de funciones de varias variables.En las funciones de varias variables, es posible graficar únicamente las funciones de 2 variables independientes, cuya gráfica será una región del espacio (R3). Mientras que para funciones de más variables es físicamente imposible graficarlas. Para graficar las funciones del tipo z=f(x,y). Es recomendable realizar las curvas de nivel.

Curvas de nivel: Para realizar las curvas de nivel a la variable dependiente z se le asigna un valor constante, luego se analiza la gráfica de la función resultante. Se da varios valores a z hasta comprender cual será la gráfica.

Para comprender el tema se puede consultar el siguiente video.

Clase 10.

Clase 10.

Jueves, 26 de Mayo del 2016

Vector normal unitario: El vector normal unitario es un vector perpendicular al vector tangente unitario estudiado en la clase 9. Este vector es utilizado para encontrar la ecuación de la recta normal a la curva en un punto dado. Para calcularlo se utiliza la siguiente ecuación.

El vector normal unitario también puede ser calculado gracias a un teorema con la siguiente ecuación.

Vector binormal;El vector binormal, es un vector perpendicular al vector tangente unitario y al vector normal unitario. Para calcularlo se puede utilizar cualquiera de las siguientes fórmulas.

Como se dijo anteriormente, al ser estos 3 vectores perpendiculares entre si, al conocer dos de ellos se puede calcular el restante utilizando el producto cruz (X) y aplicando la regla de la mano derecha. Conceptos estudiados en álgebra vectorial.

Triedro móvil y su aplicación: El triedro móvil es la unión de los tres vectores unitarios estudiados anteriormente (tangencial, normal y binormal). Se denomina móvil ya que estos vectores pueden ser encontrados en cualquier punto del dominio de la función vectorial.

Triedro móvil en t es:{ T(t), N(t), B(t) }

Aplicación:

• Plano Osculador. Es el plano que contiene al vector tangente y el vector normal a la curva. En este plano se encuentra contenida la velocidad y la aceleración, estudiadas anteriormente.
• Plano Normal Principal: Es el plano que contiene al vector binormal y normal unitario.
• Plano rectificador: Es el plano que contiene al vector binormal y tangente unitario.

Notas:

• Si se conocen los vectores del triedro móvil y el punto de interés de la curva en donde están esos vectores, se puede encontrar fácilmente las ecuaciones de los planos rectificador, normal y osculador.
• El plano rectificador es un plano tangente a la trayectoria de la curva.
• El plano normal se mantiene perpendicular a la trayectoria de la curva.
• El plano osculador es el plano que m´as trata de adaptarse a la curva.
• El centro de curvatura, as´ı como la circunferencia osculatriz, se encuentran en su totalidad contenidas en el plano osculador.
• Si el vector binormal permanece constante para cualquier t de la curva R(t), se dice que es una curva plana, si no, es una curva alabeada.
• Si una curva es plana, esta se encuentra contenida en su totalidad en un plano, que resulta ser el plano osculador.

Para comprender mejor el tema se puede consultar el siguiente video explicativo:

Funciones de varias variables: En la función dada por z = f(x,y); x y y son las variables independientes y z es la variable dependiente. 

Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n variables donde los dominios consisten en tríadas (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y adas (x1, x2, . . ., xn). En todos los casos, el rango es un conjunto de números reales.

Para comprender cual es el dominio de la función es necesario (siempre que sea posible) realizar los siguientes puntos.

1. Análisis matemático: Encontrar los puntos asintóticos donde la función no está definida.
2. Análisis gráfico: En caso de ser posible se debe graficar el dominio de la función.
3. Análisis descriptivo: En caso de ser posible, expresar con palabras lo encontrado anteriormente

Para comprender mejor el tema se puede consultar el siguiente video explicativo:

Clase 9.

Clase 9.

Martes, 24 de Mayo del 2016

Vector tangente unitario: El vector tangente unitario es el vector unitario en la dirección de la primera derivada de la función vectorial con respecto al parámetro. Se encuentra este vector con la siguiente ecuación.

• El vector tangente unitario siempre sigue la dirección de la curva.
• El vector tangente unitario es utilizado para encontrar la ecuación de la recta tangente en el punto dado. Al actuar como el vector director de esta recta.

Curvatura: Es la tasa de variación de la dirección de la curva con respecto a la variación con su longitud. En otras palabras, la curvatura nos expresa que tan "curva"  es nuestra curva.Para calcular la curvatura se puede utilizar la siguiente ecuación.

También se puede calcular la curvatura con el siguiente teorema:

Para comprender mejor el tema se puede consultar el siguiente video:

Clase 8

Clase 8.

Jueves, 19 de Mayo del 2016

Derivación de Funciones vectoriales: Así como a las funciones de una variable se las puede derivar, las funciones vectoriales pueden ser derivadas respecto a la variable de su parámetro. Para hacer esto, se deriva cada uno de sus componentes y el resultado es otra función vectorial. Se aplican las mismas reglas de derivación aprendidas en cursos anteriores de cálculo. Consultar el gráfico 3.



Interpretación de la derivada de las funciones vectoriales: Se puede considerar a F'(t) como a el vector tangente a la curva C en un punto. 

Interpretación física de la derivada de las funciones vectoriales: En física, la trayectoria que toma una partícula se puede definir como una función vectorial (R(t)) en el espacio (R3). Es por ello que se puede decir que:

1. La primera derivada de esta función vectorial se interpreta como la velocidad de la partícula. Por tanto v(t) = R'(t).
2. La segunda derivada de esta función vectorial se interpreta como al aceleración de la partícula. Por tanto a(t)=R''(t)=v'(t).
3. La rapidez, es el módulo de la velocidad. Por tanto v=||R'(t)||. Este es un valor escalar. Mientras que la velocidad es un vector.

Integración de funciones vectoriales: Al igual que en las funciones de una variable, las funciones vectoriales pueden ser integradas. Para integrar estas funciones, se integra cada uno de sus componentes siguiendo las reglas de integración que se han estudiado en cursos anteriores de cálculo

Gráfico 3

Propiedades:

Longitud de arco de curva: Se puede calcular la longitud de un arco de curva basándose en la geometría analítica. 

Para calcular la esta longitud, se utiliza la siguiente fórmula:

Para una mejor comprensión del tema se puede revisar el siguiente video: