Jueves, 02 de Junio del 2016.
Límites y continuidad: Cuando se hablada del límite y continuidad en funciones de una variable, se definía un intervalo en la recta de los reales. En cambio para las funciones de dos variables, se utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos, en este caso (x,y) y (x0,y0) en el plano para definir un entorno con radio mayor a 0 y centrado en (x0,y0). Por lo tanto se tiene un disco abierto con la siguiente ecuación:
Para entenderlo mejor se puede consultar el siguiente gráfico:
Por lo tanto, si nuestra función de 2 variables no está definida en el punto (x0,y0), pero al acercarnos mediante el disco abierto definido anteriormente, toma un valor definido, se puede decir que existe el límite.
La gran diferencia entre el límite de funciones de 1 variable y las de 2, es que en una función de 1 variable, para comprobar que existe el límite es solo necesario demostrar que el limite es igual por la derecha que por la izquierda, mientras que en las funciones de 2 variables, se puede aproximar por cualquier trayectoria. Por tanto, es necesario observar el siguiente video para comprender como conocer si existe el límite de una fncioón de 2 variables.
Continuidad de una función de 2 variables: Al igual que en las funciones de 1 variable, las funciones de 2 variables son continuas en un punto (x,y) si su límite es igual a la función evaluada en (x,y). Es decir:
En el caso de funciones compuestas se tiene lo siguiente:
Lo visto anteriormente, se puede extrapolar a funciones de 3, 4 o n variables reales.
Teoría tomada del libro Cálculo 2. De varias variables de Larson. Novena edición.
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