Teorema de Green: Este teorema recibe su nombre en honor al inglés Geoge Green (1793-1841). Este teorema establece que el valor de una integral doble sobre una región simplemente conexa R está determinado por el valor de una integral de línea a lo largo de la frontera de R.
Conservación de la energía: En 1840, el físico inglés Michael Faraday escribió: “En ninguna parte hay una creación o producción pura de energía sin un consumo correspondiente de algo que la proporcione.” Esta declaración representa la primera formulación de una de las leyes más importantes de la física: la ley de conservación de la energía. En la terminología moderna, la ley dice lo siguiente: En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinética de un objeto se mantiene constante de punto a punto. Se puede usar el teorema fundamental de las integrales de línea para deducir esta ley. Y aplicando esta ley se tiene lo siguiente:
Teorema Fundamental de integrales de línea: El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.
*El teorema fundamental de las integrales de línea es similar al teorema fundamental de cálculo:
La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente (Nabla)f como el resultado del operador diferencial (nabla) que actúa sobre la función f. En este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica para recordar la fórmula para el rotacional.
Cabe recalcar que en el caso que si el rotacional de un campo vectorial es igual a 0 rotF(x,y,z) = 0, entonces se dice que el campo vectorial es conservativo.
Divergencia: Se ha visto que el rotacional de un campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otra función importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una función escalar. La divergencia puede verse como un tipo de derivadas de F, ya que, para campos de velocidades de partículas, mide el ritmo de flujo de partículas por unidad de volumen en un punto.
Integral de línea:
Para comprender mejor las integrales de línea se puede ver el siguiente video:
Los campos vectoriales son útiles para estudiar y representar varios campos de fuerza o campos de velocidades como el campo magnético o el campo gravitacional, entre otros. También se puede estudiar los flujos de un fluido en un recipiente mediante los campos vectoriales.
Graficación de campos vectoriales: Para graficar los campos vectoriales, se podrían trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo, es más ilustrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvas de nivel en los campos escalares.
Centro de masa: Considérese una región sólida Q cuya densidad está dada por la función de densidad p. El centro de masa de una región sólida Q de masa m está dado por (x, y, z) , donde
Para el cálculo del momento de inercia se tiene lo siguiente:
Integral doble y volumen: Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una región sólida que se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z= f(x,y).
Con el siguiente video se puede comprender mejor este tema.
Integrales triples: El procedimiento utilizado para definir una integral triple es análogo al utilizarlo para integrales dobles. Considerar una función f en tres variables que es continua sobre una región sólida acotada Q. Entonces, se encierra Q en una red de cubos y se forma una partición interna que consta de todos los cubos que quedan completamente dentro de Q.
Para calcular el volumen utilizando integrales triples se utiliza lo siguiente:
Integrales dobles en coordenadas polares: Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen x^2+y^2.
Integrales triples en coordenadas cilíndricas: Muchas regiones sólidas comunes como esferas, elipsoides, conos y paraboloides pueden dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. De hecho, fue precisamente esta dificultad la que llevó a la introducción de sistemas de coordenadas no rectangulares.
Multiplicadores de Lagrange: Muchos problemas de optimización tienen restricciones, o ligaduras, para los valores que pueden usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas de optimización para lograr resolver estos problemas es que se usa los llamados multiplicadores de Lagrange.
Para comprender mejor el tema se puede revisar el siguiente video:
Punto de Silla: Considerando la superficie definida, conocida como paraboloide hiperbólico.En el punto (0, 0), ambas derivadas parciales son 0. Sin embargo, la función no tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto centrado en (0, 0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0, 0, 0) es un punto silla de la superficie.
Se puede utilizar los diferenciales para evaluar el cambio que sufre una función cuando este cambio es muy pequeño, ya que de esta manera el cálculo se simplificará. También es posible utilizar los diferenciales para el cálculo de aproximaciones y el análisis del error.
Derivadas Parciales de Orden Superior: Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc.,
derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan.
Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación. Por
ejemplo, la función z = f(x, y)tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden.
La tercera y cuarta derivada se conoce como derivada mixta o derivada cruzada. Es importante anotar que si la función es continua en todo su dominio se asume que la tercera y cuarta derivada son iguales de este modo:
Teoría sacada del libro de Cálculo de varias variables de Larson.
Plano tangente: A medida que se acerca hacia un punto sobre la superficie que es la gráfica de una función derivable de dos variables, la superficie se parece más y más a un plano, su plano tangente, y es posible aproximarse a la función mediante una función lineal de dos variables.
Para comprender mejor el tema se puede consultar el siguiente video.
Derivada Direccional: Las derivadas son consideradas la razón de cambio de una función, utilizando la derivada direccional podemos conocer como cambia o varia la función de dos o más variables en una dirección específica que en este caso estará dada por un vector particular.
Para comprender mejor este tema se puede revisar el siguiente video:
Vector Gradiente: El gradientede una función de dos variables es una función vectorial de dos variables.
Utilizando el vector gradiente, la derivada direccional se puede escribir y calcular de otra forma:
Para más información del tema y resolución de ejercicios se puede consultar el siguiente video:
Información tomada del libro Cálculo de varias variables de Larson.
Derivación Implícita: Cuando hablamos de funciones implícitas en una variable, se refiere a cuando la variable dependiente no se expresa solo en función de la variable independiente. En el caso de una función de dos variables, f(x,y) donde x & y dependen de otra variable "t" denominada parámetro se tiene que: si derivamos f(x,y) en función de "t", se necesita conocer también las derivadas de x & y en función de t para poder encontrar esto. Para este procedimiento se utiliza la regla de la cadena:
Información obtenida de Cálculo en varias variables de Stewart.
