Clase 20

Clase 20.

Martes, 05 de Julio del 2016

Multiplicadores de Lagrange: Muchos problemas de optimización tienen restricciones, o ligaduras, para los valores que pueden usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas de optimización para lograr resolver estos problemas es que se usa los llamados multiplicadores de Lagrange.

Para comprender mejor el tema se puede revisar el siguiente video:

Clase 19

Clase 19.

Jueves, 30 de Junio del 2016

Máximos y mínimos relativos: 

Punto de Silla: Considerando la superficie definida, conocida como paraboloide hiperbólico.En el punto (0, 0), ambas derivadas parciales son 0. Sin embargo, la función no tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto centrado en (0, 0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0, 0, 0) es un punto silla de la superficie.

Criterio de la 2da derivada:

Clase 18.

Clase 18.

Martes, 28 de Junio del 2016

Regla de la cadena: Cuando tenemos una función z=f(x,y) donde x depende de t y y depende también de t. Se tiene el siguiente árbol de variables.

De aquí se deriva el siguiente teorema:

En el caso de que la función z=f(x,y) donde x dependa de s y t y y dependa de s y t. Se tiene el siguiente árbol de variables.

Para este segundo caso se tiene el siguiente teorema:

Clase 17.

Clase 17.

Jueves, 23 de Junio del 2016

Diferenciales: 

Se puede utilizar los diferenciales para evaluar el cambio que sufre una función cuando este cambio es muy pequeño, ya que de esta manera el cálculo se simplificará. También es posible utilizar los diferenciales para el cálculo de aproximaciones y el análisis del error.

Clase 16

Clase 16.

Martes 21 de Junio del 2016

Derivadas Parciales de Orden Superior: Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc., derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación. Por ejemplo, la función z =   f(x, y) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden.

 

La tercera y cuarta derivada se conoce como derivada mixta o derivada cruzada. Es importante anotar que si la función es continua en todo su dominio se asume que la tercera y cuarta derivada son iguales de este modo:

Teoría sacada del libro de Cálculo de varias variables de Larson.

Clase 15

Clase 15.

Martes, 14 de Junio del 2016

Plano tangente: A medida que se acerca hacia un punto sobre la superficie que es la gráfica de una función derivable de dos variables, la superficie se parece más y más a un plano, su plano tangente, y es posible aproximarse a la función mediante una función lineal de dos variables.

Para comprender mejor el tema se puede consultar el siguiente video.

Derivada Direccional: Las derivadas son consideradas la razón de cambio de una función, utilizando la derivada direccional podemos conocer como cambia o varia la función de dos o más variables en una dirección específica que en este caso estará dada por un vector particular.

Para comprender mejor este tema se puede revisar el siguiente video: 

Vector Gradiente: El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. 

Utilizando el vector gradiente, la derivada direccional se puede escribir y calcular de otra forma:

Para más información del tema y resolución de ejercicios se puede consultar el siguiente video:

Información tomada del libro Cálculo de varias variables de Larson.

Clase 14.

Clase 14. 

Jueves, 09 de Junio de 2016

Derivación Implícita: Cuando hablamos de funciones implícitas en una variable, se refiere a cuando la variable dependiente no se expresa solo en función de la variable independiente. En el caso de una función de dos variables, f(x,y) donde x & y dependen de otra variable "t" denominada parámetro se tiene que: si derivamos f(x,y) en función de "t", se necesita conocer también las derivadas de x & y en función de t para poder encontrar esto. Para este procedimiento se utiliza la regla de la cadena:

Información obtenida de Cálculo en varias variables de Stewart.