Clase 27.

Clase 27.

Martes, 02 de Agosto del 2016.

Teorema Fundamental de integrales de línea: El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.

*El teorema fundamental de las integrales de línea es similar al teorema fundamental de cálculo:

Para la demostración se tiene lo siguiente:

Clase 26.

Clase 26.

Jueves, 28 de Julio del 2016

Rotacional:

La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente (Nabla)f como el resultado del operador diferencial (nabla) que actúa sobre la función f. En este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica para recordar la fórmula para el rotacional.

Cabe recalcar que en el caso que si el rotacional de un campo vectorial es igual a 0 rotF(x,y,z) = 0, entonces se dice que el campo vectorial es conservativo. 

Divergencia: Se ha visto que el rotacional de un campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otra función importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una función escalar. La divergencia puede verse como un tipo de derivadas de F, ya que, para campos de velocidades de partículas, mide el ritmo de flujo de partículas por unidad de volumen en un punto.

Integral de línea: 

Para comprender mejor las integrales de línea se puede ver el siguiente video:

 

Clase 25

Clase 25.

Martes, 26 de Julio del 2016

Campos vectoriales:

Los campos vectoriales son útiles para estudiar y representar varios campos de fuerza o campos de velocidades como el campo magnético o el campo gravitacional, entre otros. También se puede estudiar los flujos de un fluido en un recipiente mediante los campos vectoriales.

Graficación de campos vectoriales: Para graficar los campos vectoriales, se podrían trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo, es más ilustrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvas de nivel en los campos escalares.

 

Ejemplos:

Clase 24.

Clase 24.

Jueves, 21 de Julio del 2016

Centro de masa: Considérese una región sólida Q cuya densidad está dada por la función de densidad p. El centro de masa de una región sólida Q de masa m está dado por (x, y, z) , donde

Para el cálculo del momento de inercia se tiene lo siguiente:

 

Clase 23.

Clase 23.

Jueves, 14 de Julio del 2016.

Integral doble y volumen: Una integral doble se puede usar para hallar el volumen de una región sólida que se encuentra entre el plano xy y la superficie dada por z= f(x,y).

Con el siguiente video se puede comprender mejor este tema.

Integrales triples: El procedimiento utilizado para definir una integral triple es análogo al utilizarlo para integrales dobles. Considerar una función f en tres variables que es continua sobre una región sólida acotada Q. Entonces, se encierra Q en una red de cubos y se forma una partición interna que consta de todos los cubos que quedan completamente dentro de Q.

Para calcular el volumen utilizando integrales triples se utiliza lo siguiente:

 

Clase 22.

Clase 22.

Martes, 12 de Julio del 2016

Transformación de integrales múltiples: 

Integrales dobles en coordenadas polares: Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen x^2+y^2.

Integrales triples en coordenadas cilíndricas: Muchas regiones sólidas comunes como esferas, elipsoides, conos y paraboloides pueden dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. De hecho, fue precisamente esta dificultad la que llevó a la introducción de sistemas de coordenadas no rectangulares.

Integrales triples en coordenadas esféricas:

Clase 21.

Clase 21.

Jueves, 07 de Julio del 2016

Integrales Múltiples: las integrales dobles y triples, se emplean entonces para calcular volúmenes, masas y centroides de regiones más generales.

Propiedades de las integrales.